عنوان کرده که به شرطی که من تعهد بدهم که ازدواج مجدد نمی کنم حضانت را به من میدهد، آیا همچین حقی دارد؟

سلام
به نظر چنین تعهدی از سوی شما پذیرفته نیست و نمی توان چنین حقوقی را برای همیشه ساقط کرد

تعهدات اشخاص بحث مجزی دارد اما حضانت نیز برابر مقررات تکلیف پدر و مادر است
مطابق اصلاحیه ماده ۱۱۶۹ قانون مدنی حضانت (به معنای نگهداری و پرورش مادی و معنوی نه سایر امور طفل مثل امور حقوقی او) فرزند چه پسر و دختر بعد از جدایی پدر و مادر تا سن هفت سالگی با مادر اوست.

بعد از این سن هم به پدر واگذار شده البته صلاحدید دادگاه با رعایت مصلحت طفل شرط لازم می‌باشد ولی ممکن است دادگاه بعد از آن هم فرزند را به پدر واگذار نکنند.

یعنی مادر از بدو تولد تا ۷ سالگی از پسر نگهداری می‌کند و از ۷ سال تا ۱۵ سالگی پدر می‌تواند در صورت موافقت و صلاحدید دادگاه چنانچه مصلحت طفل ایجاب کند حضانت او را برعهده گیرد.
اما سپردن حضانت به مادر مطلق و بدون استثنا نیست چرا که در صورت حدوث جنون یا ازدواج مادر این حضانت مطابق قانون ساقط خواهد شد یعنی پدر می‌تواند حضانت را از مادر پس بگیرد و ازدواج مجدد برای او به معنای تحویل فرزند به پدر است